notes by PDI

（※100倍達成確率の計算に誤りがあったので12月20日修正。表は差し替え、他は見え消しで対応）  （疑問） 「 1年で億り人になる 」という本がある。 中身は読んでないが目次を見た感じ借金して不動産に投資するといいという話の様子。 不動産はいろいろ手間がかかるので、借金して（レバレッジをかけて）ETFに投資して1年で1億円に増やす方法を考えてみたい。 かといって元手が少しはないと始まらないので100万円手元にあるとしよう。 どのETFをどのくらいのレバレッジで投資したらどれだけの確率で100万円が1億円（100倍）になるか。 （調査方法） 東証上場のETFについて過去3年の値動きを調べる。 過去の日次対数リターンとリスク（標準偏差）から最適レバレッジを見つける。 対数リターンが正規分布に従うという前提で、最適レバレッジで投資したときに1年後（252営業日後）に資産が100倍になる確率を計算する。 金利はゼロ%として計算。 空売り（最適レバレッジマイナス）になるETFは除外。 （調査結果） 東証に上場している ETF309本 のうち3年のデータが取れた277本について調査したところ、1年で1億円を達成できる確率の高いETFと最適レバレッジの組合せ上位は下表のとおり。 リターンが高くリスクが低い（=シャープレシオが高い）ETFのレバレッジをできるだけ上げるのが1億円達成の近道なので、もともとのリターンが高いだけでなく、相対的に低リスクのETFが上位になっている。 過去3年の価格変動に基づけば、最も1億円達成の確率が高いのは野村アセットの1489「 NEXT FUNDS日経平均高配当株50指数連動型上場投信 」で、10.5倍のレバレッジをかければ 14% 2.8%の確率で1年後に100倍になる。 成長株や米株ETFではなく高配当が1位になったのは意外。現物のパフォーマンスはそれほどでもないが相対的な低リスクが貢献している。3位の2849「 グローバルX Morningstar 高配当ESG-日本株式ETF 」も同じ背景。 2番目に億り人達成の確率が高いのは日興アセットの2239「 上場インデックスファンドS＆P500先物レバレッジ2倍 」で、アメリカ株にフルベットするのが資産を増やす近道という直感に近い結果になった。 とはいうものの億り人達成確率上位10位のうち...

 （疑問） レンジ相場でレバレッジファンドが減価するのはなぜか （調査方法） 具体的なシナリオでシミュレーション 当初株価100で90から110の間を変動し最後も100になる株式を想定 -1から2までの異なるレバレッジでの基準価格を計算 （調査結果） シミュレーション結果は下記の通り 株価が行ったり来たりしてもとに戻る場合一番成績がいいのはレバレッジ0.5倍。 レバレッジ-1倍と2倍は株価が元に戻ったが基準価格は0期比でマイナス。 この理由は、株価変動に対応したポジションの調整数量を計算した右端のbuy/sellで示される。 レバレッジ0.5倍の時株価が下がると買い、上がると売りという行動をとる。 レバレッジ-1倍と2倍の時は逆に、下がったら売り、上がったら買いという順張りの行動をとることになる。 つまり株価が上がる直前にポジションを減らし、下がる直前にポジションを増やしている その結果レンジ相場では成績が悪化する。 より広く考えれば、全体株価が下がる（上がる）とレバレッジファンドの売買が下げ（上げ）に拍車をかける

 （疑問） レバレッジをかけた取引が危険といわれるがなぜか。 自己資金以上の損が発生するから とかいうが改めて考えてみた （調査方法） 仮想資産について価格変動を想定。 当該仮想資産について当初のレバレッジが価格変動後にどうなっているかを調べた。 具体的にはレバレッジマイナス1からプラス2の範囲で投資した結果をシミュレーションした。 （調査結果） シミュレーション結果は下表のとおり。 上記以外のレバレッジについてもシミュレーションした結果をチャートにまとめた。 縦軸が価格変動後のレバレッジ、横軸が価格変動、それぞれの線が当初のレバレッジの水準を示す。 シミュレーションから読み取れることは以下の通り 当初レバレッジ=1（フルインベストメント）または当初レバレッジ0（投資しない）場合： 価格がどう変わってもレバレッジは1または0で一定 当初レバレッジ0超、1未満の場合（=自己資金内での投資）： 価格上昇時は上限1までの範囲でレバレッジ上昇。 価格下落時は0以上の範囲でレバレッジ低下。 価格上昇後に売るとレバレッジ低下。 価格下落後に買うとレバレッジ上昇。 当初レバレッジ1超（自己資金以上のロング）の場合： 価格上昇時はレバレッジ低下（ただしどんなに下がっても1以下にはならない）。 価格下落時はレバレッジ上昇。上限無限大。 当初レバレッジを維持するには =>価格上昇時には追加的な買い（ロングを増やす） =>価格下落時には追加的な売り（ロングを減らす） が必要=>直感に反する。 当初レバレッジ0未満（ショート）の場合： 価格上昇時はレバレッジが減少（マイナス方向にレバレッジ上昇=リスクは増大、マイナス無限大まで）。 価格下落時はレバレッジが増加（マイナスの範囲でレバレッジ減少=リスクは低下、ただし0以上にはならない）。 当初レバレッジを維持するには =>価格上昇時には追加的な買い（ショートを減らす） =>価格下落時には追加的な売り（ショートを増やす） が必要=>こちらも直感に反する。 レバレッジ0未満または1以上で運用を行っている場合、想定と逆に価格が動くと予想外に早くレバレッジの絶対値が高まる（リスクが急上昇する）可能性があるので注意。 自己資金の範囲で運用を行う場合にはどう価格が動いてもレバレッジは0から1に収まり、リスク無限...

 疑問 東証には2倍ブルとか2倍ベアとか指数にレバレッジをかけたETFがある。 よく レバレッジ型ファンドは減価する といわれるが、設定趣旨上は正反対に動くダブルブルとかダブルベアとかを同時にポジション取ったらどうなるのか？ 減価しているということなので、その分売り立てで利益が得られるのではないか？調べてみた。 調査方法 とりあえず目についたETFとして大和の 日経平均レバレッジ（1365） と 日経平均ダブルインバース（1366） の値動きでシミュレーションする。 どちらも日経平均を対象に×2、×マイナス2の運用成果を目指しているとのこと。 1365と1366それぞれについて日々の騰落率を計算する。 買い持ち（ロング）ポートフォリオとして1365、1366それぞれに50%ずつアロケーションしたとしてNAVを計算する。 売り建て（ショート）ポートフォリオとして1365、1366それぞれにマイナス50%ずつアロケーションしたとしてNAVを計算する。 ロングショートどちらのポートフォリオも日々リバランスして1365、1366どちらも同じ金額になるように調整する。 調査結果 調査対象とした1365と1366の設定（2014年12月30日）来の価格推移は下のとおり 1365チャート（ヤフーファイナンスから） 1366チャート（ヤフーファイナンスから） ロングとショートの仮想ポートフォリオのNAV推移は下のとおり 想定された通りロングポートフォリオは2014年末からの7年余りで着実にNAVが下がっている。 ショートのポートフォリオは着実にNAVを増やしており、7年余りで15%程度のリターン。 特筆すべきは変動の小ささで、ショートポートフォリオの場合は年率リターン2％に対して標準偏差が1.4%ときわめて安定的にNAVを増やしている。 シミュレーションでは手数料や貸株料の存在などを無視しており、都合の良すぎる結果な気もするが、レバレッジを上げればさらにリターンが高まるのでどなたか試してはいかがだろうか。

  疑問 これ とかいろいろなところでレバレッジが高すぎると逆にリターンが減るという話が言われているのだけれども、理屈はともかく実際に過去の値動きで検証したらどうだろう？ 方法 2011年以降直近までの日経平均のデータをとりレバレッジを変えてシミュレーションを行う。 手数料や税金は考慮しない。 結果 下の図のとおりレバレッジを上げすぎると実際の数字で確認してもリターンが下がる レバレッジ1倍だとリターンは+140%程度 レバレッジを引き上げるにつれてリターンも増加していくが2倍から2.5倍くらいでピークを迎えてそれ以降低下していく 4倍にすると+80%程度になりレバレッジ1倍も下回る

 問題意識 ボラティリティのある資産に投資するとレバレッジを上げてもそれに見合ったリターンが得られない 例えばレバレッジファンドとか 期待リターンとボラティリティごとに最適なレバレッジとは？ 調査方法 Ed Thorpの論文 "THE KELLY CRITERION IN BLACKJACK SPORTS BETTING, AND THE STOCK MARKET" を参照した。 それによると無リスク金利がゼロの場合 長期投資を行った場合の長期資産成長率 （g） = f * m - (s^2 * f ^2)/2 ここで mは期待リターン sはボラティリティ fはレバレッジ gを最大化するレバレッジ （f*） = m/(s^2) ということなのでこの式に数値をあてはめてシミュレーションを行った。 調査結果 ボラティリティが存在する（s≠0）の場合は特定のレバレッジ（f*）で長期資産成長率（g）が最大になる f*の水準は期待リターン（m）とボラティリティ（s）の関係で決まる 例えばボラティリティ20%、期待リターン2%だと、長期資産成長率を最大化する最適なレバレッジは0.5倍になる レバレッジごとの長期資産成長率は以下の通り、ボラティリティ20%、4パターンの期待リターンを想定してシミュレーションした

 疑問 手元資金効率化のため2倍のレバレッジをかけた金融商品を資産の50%組入れれば投資成果はレバレッジ1倍と同じになるか？ S&P500のインデックスファンドに100%投資する場合と、S&P500の2倍の運用成績を目指すレバレッジファンドに50%投資する場合とでパフォーマンスに差は出るか？ 調査方法 S&P500の2020年の日次パフォーマンスに基づいて手持ち資産を： S&P500に100%配分した場合と レバレッジ2倍のファンドに50%配分した場合に分けてシミュレーションを実施 ファンドに50%配分した場合については下記2パターンを検討した パターン1：期首に資産の50%をレバレッジ2倍のファンドに投資したものとしてパフォーマンスを算出する パターン2：期首に資産の50%をレバレッジ2倍のファンドに投資、その後も資産の変動に合わせて日々キャッシュ50%、ファンド50%になるようリバランスしてパフォーマンスを算出する 結果 パターン1（リバランス無しのケース）では、S&P500のパフォーマンスに劣後する結果となった。 パターン2（日々アセットアロケーションをファンド50％、キャッシュ50%となるようリバランス）では、パフォーマンスはS&P500に一致した。 投資戦略への示唆 資金効率化のためにレバレッジファンドを活用しても、原資産（S&P500）のパフォーマンスを正確に反映するには日々リバランスが必要。 レバレッジ2倍ファンドの純資産がレバレッジ1倍ファンドより大きい時、変動幅はレバレッジ1倍ファンドの2倍以上になり、逆の場合は変動幅が2倍以下になる =>パフォーマンスは期待通り50%×2倍=100%とはならない 設計上レバレッジファンドは変動率=2倍だが日々先物ポジションを純資産の残高に応じて組みなおすためリスクイクスポージャーが常に2倍になるとは限らず「変動幅」は2倍にならない 現実の運用ではレバレッジファンドでより多く発生する経費、リバランス時の売買手数料も問題になる。 結論 レバレッジファンドを使った運用効率化はかなり大変

 疑問 レバレッジを2倍のファンドのパフォーマンスが2倍にならないのはなぜ？ 信用取引でポジションを2倍にした場合はどうか？ 先物で2倍のポジションを作る　v.　信用取引で2倍の株数を買うことの違いとは？ 調査方法 仮想の指数の値動きP={p0, p1, p2, p3, p4...pi}を設定 10,000円を用意して ①レバレッジ1倍（＝現物投資） ②レバレッジ2倍 ③信用取引で現物の2倍の株数投資 それぞれの純資産推移をいくつかのパターンに分けてシミュレーションする。 調査結果 1. レンジ相場の場合その1 P={10, 11, 10, 11, 10 ,11}     2. レンジ相場の場合その2 P={10, 9, 10, 9, 10 ,9}     3. 一貫して上昇の場合　P={10, 11, 12, 13, 14, 15}     4. 上下しながら上昇の場合 P={10, 11, 10, 11, 12, 13}     5. 一貫して下落の場合　P={10, 9, 8, 7, 6, 5}     6. 上下しながら下落の場合　P={10, 11, 10, 9, 10, 8}     読みとれる傾向 レンジ相場（シミュレーション1、2）の場合は「レバレッジ2倍」のパフォーマンスが、「信用取引（2倍）」に常に劣後した。方向性のない相場ではレバレッジファンドのパフォーマンスが悪化する。 一貫して上昇（シミュレーション3）および一貫して下落（シミュレーション5）では、「レバレッジ2倍」のパフォーマンスが「信用取引2倍」を常に上回った。 レバレッジファンドだからと言って常にパフォーマンスが同じ倍率の信用取引に負けるわけではない。 現物取引の資産よりもレバレッジファンドの純資産が大きい時、レバレッジファンドのパフォーマンスは信用取引（２倍）よりも増幅され、小さい時は減衰される。 ポイント レバレッジ2倍ファンドのパフォーマンスが2倍の信用取引のパフォーマンスとズレる理由は 信用取引（2倍）が負担するリスクは現物取引（＝レバレッジ1倍）投資額の2倍なのに対して、レバレッジ2倍ファンドの負担するリスクは自身の純資産の2倍になる その結果信用取...