notes by PDI

 （疑問） S&P500のImplied Volatility（IV=VIX）は平時にはRealized Volatility（RV）よりも高いことが知られており、IV-RVはvolatility risk premiumと呼ばれている。 1990年以降の平均でIVはRVを4.1程度上回っている。 VIXのImplied Volatility（=VVIX）も同様にRealized Volatilityより平均的に高いのか。 （調査方法） VIXとVVIXのデータを取得してVIXの動きから1か月（21取引日）のRealized Volatilityを計算しImplied Volatility（VVIX）と比較した。 （調査結果） VVIXのデータが取れる2007年以降のデータを使って、VVIXの推移と21営業日のRV（21営業日後のHistorical Volatility）を比較したところ、実績データのRV、HVが激しく変動するためよくわからない。 そこでIV(VVIX)-RVをチャートにしたところ平均的にIV<RVになる状況が認められた。 2007年以降の平均でRVがIV（VVIX）を20程度上回っていた。 IV-RVの分布は中心（中央値）がややマイナスで尖っており、左裾が長めになっている S&P500のIV（VIX）とは逆に、VIXのIV（VVIX）の期間構造は右下がりになる（原資産であるVIXオプションの期日が先になるほどIVが低くなる）傾向があるが、IVがRVより小さくなることと関連があるのかもしれない。 以上

 疑問 ボラティリティが増加するとオプションの価値は上がるし、減少すると下がる その上がり方、下がり方はどうなっているのか？ オプション価格はボラティリティの変化に対して線形か非線形か？ 調査方法 ブラックショールズモデルを前提としてIVをいろいろ動かして視覚的に調査 具体的には 株価20、行使価格17（コールはITM、プットはOTM）の場合と、 株価20、行使価格20（ATM） の2パターンについて金利、残存期間をいじってIVとオプション価格の関係をチャートで確認 調査結果（要約） IVとオプション価格の関係は非線形 IVが一定水準以下までは下に凸の形（convex）、一定水準以上になると上に凸（concave)になる convexとconcaveが切り替わるIVの水準（閾値）は金利と残存期間で変わる 金利が高いと閾値は高くなる=>金利が高いとより高いIV水準でconvexからconcaveに代わる 残存期間が短くなると閾値は高くなる=>残存期間が短いほうが低いIV水準でconvexからconcaveに代わる 株価と行使価格の距離が近くなると閾値は小さくなる=>株価と行使価格の差が小さい方が、低いIV水準でconvexからconcaveに代わる 調査結果（具体例） 株価20、行使価格17（コールITM、プットOTM）の場合 残存期間1か月、金利5％の時、IV200くらいまで下に凸（convex）、それ以上は上に凸（concave） 株価20、行使価格20（ATM）の場合 残存期間1か月、金利5％の時、視覚的にはほぼ直線だがIV30くらいまで下に凸（convex）、それ以上は上に凸（concave） 以上

 （疑問） S&P500の場合、ほとんどの期間でImplied Volatility (VIX) はHistorical Volatilityよりも高い。 SPXだけではなく他の指数や個別銘柄ではどうなる？ 一般にIVはHVよりも高いといえるか？ （調査方法） 実際の指数又は株価から過去21営業日（≒1か月）のHistorical Volatilityを計算する。 各対象資産のオプションデータに基づきVIXと同じ計算方法で30日のImplied Volatilityを計算する。 主な指数、株価、ETFについて両者を比較する。 （調査結果） 2023年3月3日のデータでHVとIVを計算した結果のプロットは下図の通り。 一般にIVがHVよりも高いとは言えない。 SPX (S&P500), IBM, USO (原油ETF), SLV (銀ETF), BITO (ビットコインETF), TQQQ (ナスダック100トリプルブル)など調査対象とした20銘柄のうち15銘柄でIVがHVを上回っていた。 他方、VIX, SQQQ (ナスダック100トリプルベア), AMZN (アマゾン), GOOGL (アルファベット)など5銘柄でIVがHVを下回った。 IV>HVの銘柄群とIV<HVの銘柄群の違いはなんだろうか？ 下のグラフはIV>HVの銘柄群と、IV<HVの銘柄群についてオプション満期ごとのIVをサンプル銘柄について表示したもの。 IV>HVの銘柄はオプション価格から計算したIVがなんとなくコンタンゴになる傾向 IV<HVの銘柄は逆でなんとなくバックワーデーションになる傾向。 IVの期間構造がIVとHVの大小の背景にありそうだが理由は不明。 以上

 疑問 S&P500のVIX先物は大体の場合 満期までの期間が長くなると高くなる=いわゆるコンタンゴ になることが知られている。 VIX「先物」ではなくて VIXそのものの場合も期間が長いほど水準が高くなる 場合が多いようだ。 個別株や債券、為替などS&P500以外の資産についても同じことが言えるのか？ 調査方法 CBOEのサイトでS&P500といった指数のほかにも、 アップルなど個別株 や BND等のETF など様々なオプションのデータが入手できるので、そのデータをもとに VIXの計算方法と同じ方法を使って 、満期ごとのvolatilityを計算する。 計算の対象はダウ平均構成銘柄や主要ETFなどを適当に選んだ。 データはすべて2023年2月13日の値を使用した。 調査結果（まとめ） S&P500のvolatilityはオプションの満期が長くなるほど高くなるコンタンゴの関係がみられるが、それ以外の資産はバラバラ。 volatilityが一般にコンタンゴになるとは言えない。 Nasdaq100やラッセル2000は満期とvolatility水準にはっきりした傾向はみられない。 同様に、債券ETFはどれも満期に関係なく同じような水準。 ブルベアETFとテクノロジー銘柄は満期が長くなるほどvolatilityが低くなるバックワーデーションの関係。 個別株の場合、決算発表が間近に迫るとvolatilityが高くなるパターンはありそう。 調査結果（個別） 下グラフはS&P500（SPX）、ダウ平均（DJX）、ナスダック100（NDX）、ラッセル2000（RUT）それぞれのvolatilityを計算したもの 期近2月満期のオプションから計算されるvolatilityがすべての調査対象で高くなっていたためグラフ表示から除外した。今後のグラフはすべて同様。 期間別のvolatilityの形状を見るとSPXは期間長い=>volatility高いという傾向が明確にあるが、NDX、RUTではあまり明確ではない。DJXは2023年満期では横ばいで2024年分が若干高くなっている傾向。 つぎにSPXと先進国株式（MXEA）、新興国（MXEF）、そしてS&P500ETF（SPY）を比較した。 MXEF、SPYは目先数か月についてはS...

 （疑問） レンジ相場でレバレッジファンドが減価するのはなぜか （調査方法） 具体的なシナリオでシミュレーション 当初株価100で90から110の間を変動し最後も100になる株式を想定 -1から2までの異なるレバレッジでの基準価格を計算 （調査結果） シミュレーション結果は下記の通り 株価が行ったり来たりしてもとに戻る場合一番成績がいいのはレバレッジ0.5倍。 レバレッジ-1倍と2倍は株価が元に戻ったが基準価格は0期比でマイナス。 この理由は、株価変動に対応したポジションの調整数量を計算した右端のbuy/sellで示される。 レバレッジ0.5倍の時株価が下がると買い、上がると売りという行動をとる。 レバレッジ-1倍と2倍の時は逆に、下がったら売り、上がったら買いという順張りの行動をとることになる。 つまり株価が上がる直前にポジションを減らし、下がる直前にポジションを増やしている その結果レンジ相場では成績が悪化する。 より広く考えれば、全体株価が下がる（上がる）とレバレッジファンドの売買が下げ（上げ）に拍車をかける

 （疑問） レバレッジをかけた取引が危険といわれるがなぜか。 自己資金以上の損が発生するから とかいうが改めて考えてみた （調査方法） 仮想資産について価格変動を想定。 当該仮想資産について当初のレバレッジが価格変動後にどうなっているかを調べた。 具体的にはレバレッジマイナス1からプラス2の範囲で投資した結果をシミュレーションした。 （調査結果） シミュレーション結果は下表のとおり。 上記以外のレバレッジについてもシミュレーションした結果をチャートにまとめた。 縦軸が価格変動後のレバレッジ、横軸が価格変動、それぞれの線が当初のレバレッジの水準を示す。 シミュレーションから読み取れることは以下の通り 当初レバレッジ=1（フルインベストメント）または当初レバレッジ0（投資しない）場合： 価格がどう変わってもレバレッジは1または0で一定 当初レバレッジ0超、1未満の場合（=自己資金内での投資）： 価格上昇時は上限1までの範囲でレバレッジ上昇。 価格下落時は0以上の範囲でレバレッジ低下。 価格上昇後に売るとレバレッジ低下。 価格下落後に買うとレバレッジ上昇。 当初レバレッジ1超（自己資金以上のロング）の場合： 価格上昇時はレバレッジ低下（ただしどんなに下がっても1以下にはならない）。 価格下落時はレバレッジ上昇。上限無限大。 当初レバレッジを維持するには =>価格上昇時には追加的な買い（ロングを増やす） =>価格下落時には追加的な売り（ロングを減らす） が必要=>直感に反する。 当初レバレッジ0未満（ショート）の場合： 価格上昇時はレバレッジが減少（マイナス方向にレバレッジ上昇=リスクは増大、マイナス無限大まで）。 価格下落時はレバレッジが増加（マイナスの範囲でレバレッジ減少=リスクは低下、ただし0以上にはならない）。 当初レバレッジを維持するには =>価格上昇時には追加的な買い（ショートを減らす） =>価格下落時には追加的な売り（ショートを増やす） が必要=>こちらも直感に反する。 レバレッジ0未満または1以上で運用を行っている場合、想定と逆に価格が動くと予想外に早くレバレッジの絶対値が高まる（リスクが急上昇する）可能性があるので注意。 自己資金の範囲で運用を行う場合にはどう価格が動いてもレバレッジは0から1に収まり、リスク無限...

 問題意識 日経新聞でよくボラティリティが上がったとか下がったとか言っているがボラティリティ=標準偏差というわけではないらしい。 そこで、日経新聞の市況面にHV（ヒストリカルボラティリティ）が出ているのでどのように算出されているか調べた。 例えば2022年5月23日のHVは以下のとおり21.8。 調査方法 統計学のテキストに出ている 標準偏差の計算方法 は以下 次に、 ボラティリティの計算方法 は以下。 単位をパーセント表示から変更したり、年率換算したりという違いはあるが最も本質的な差は平均を引くか引かないかというところ。 これらをもとに日経平均の標準偏差とボラティリティを計算してみた。 調査結果 いろいろ見たところ日経新聞のHVは過去20取引の値動きを対象にしており年率換算は250日で行っているということなのでそれに基づいて計算したところ下記の結果になった。 大体のところで同じような水準になるが2021年の9月などリターンの平均が大きくなるとズレる。 日経新聞のHVは標準偏差かボラティティのどちらを使っているのか調べるために過去2週間のHVとそれぞれの計算結果を比較してみた。 四捨五入されているので標準偏差=ボラティリティ=HVになることが多いが、標準偏差とボラティリティにずれのある5月10~12日、19日はいずれもHVはボラティリティの値と一致した。 日経新聞のHVの計算は、標準偏差ではなく平均を引かない「ボラティリティ」を使っているようだ。

 疑問 よく一定のボラティリティを前提に投資を検討するけれど、過去のボラティリティは今後のボラティリティに対してなんらかの情報を持っているのだろうか。 調査方法 S&P500採用銘柄のうち2017年から2021年の株価がとれるものについて日次の変化率をとる。 日次の変化率をもとに各年のボラティリティ（年率）を計算する。 t年のボラティリティとt+1年のボラティリティを比較し関係を見る。 調査結果 2017年から2021年までのボラティリティの組み合わせを1年ごとにプロットした結果は下図のとおり。 2017年と2018年、2018年と2019年はある程度相関関係がみられる 2020年については世界的に予想外のイベントが発生したことで前年の実績ボラティリティが役に立たなかった。 しかし2020年と2021年については再び相関関係がみられる。 unknown-unknown（という言い方はある？あるいはナイトの不確実性というべきか）があると実績ボラティリティでの将来予測はむつかしそうだが、known-unknownだけしかない環境では =>最近のボラティリティ≒将来のボラティリティと考えるのがよさそう。 問題となるunknown-unknownについてはその定義上発生の予測は不可能。 2017年から2021年まで5年すべてについての相関係数は下表のとおり。 2020年を除けば前年のボラティリティと翌年のボラティリティは相関関係があると言えそう 2020年がかく乱要因になっているが年の間隔があくほど相関係数が下がることが想定される。 ボラティリティは最近のことはよく覚えている。

 Purpose: News flow continuously, events happen regardless markets' schedule; For example, markets digest '1 day information from Tuesday to Friday; On Monday markets have to chew up 3 days information (Saturday, Sunday, and Monday); As such, price movements on Monday must be bigger than other weekdays, is my idea. Method: to see this I go over S&P 500 index from 1970; Sort daily (business day) close price change into groups by calendar day difference; calculate average, and standard deviation for each group. Results: Below figure shows the summary; Standard deviation increased along with number of days up to 3. In date-wise, 2 days standard deviation should be square root of 2 times bigger than 1 days deviation, but not that much (1.09% to 1.03%, 1.06 x); and 3 days should be square root of 3 times bigger, but the results were 1.25% to 1.03%, 1.21; There are less events and economic news may be behind this; below is the chart for standard deviation. Average index change va...

 問題意識 VIX指数はS&P500の オプションの値段を加重平均していろいろ やって算出しているという。 VIX指数が例えば30の時そのどのくらいがプットの寄与でどのくらいがコールの寄与なのか知りたい。 調査方法 CBOEのサイト から個々のS&P500オプションの値段を取得する。 CBOEの計算方法に基づきVIX指数を算出する。 その際に行使価格の幅と水準を使ってオプション価格を加重平均して使っているので、そのうちコールの部分合計、プットの部分合計、その他の部分に分けて合計1になるようにウェイト付けする。 VIX指数に同ウェイトをかけてコール部分、プット部分、その他部分の寄与を計算する。 調査結果 2021年12月3日午後16時15分頃のVIX水準は30.67（だいたいの時間なので当日のVIX終値とは微妙に差がある） そのうちコールによる部分は5.4ポイント（18%） プットによる部分は25.0ポイント（82%） その他の部分は0.2ポイント（1%） 感想 VIX指数全体のうちプット部分による寄与が非対称に大きい。 時系列で調べていないがVIXの変動はプットの価格の動きで決まるのではないか。

 疑問 1993年に計算が始まったときVIXはインプライドボラティリティ（IV）を加重平均して計算していたが2003年からオプション価格を参照して計算されるようになった という 。 計算方法が変わったがVIXはインプライドボラティリティと同じ動きをするのか？ 調査方法 前回の投稿 と同じように、2021年11月の株価、金利等のデータを使用。 いくつかのIVをブラックショールズモデルに投入してオプション価格を行使価格別に計算 得られたオプション価格群をCBOEのVIX計算式に入れてVIXを計算する IVの動きとVIXの動きを比較する 調査結果 以下のチャートのとおり VIXはインプライドボラティリティと同じ数字をとる 計算方法が変わっても同じ結果が出る

 問題意識 VIX指数は「 将来の相場に対する投資家心理を反映する 」と言われる。 金利が上昇するとVIXは上るのか下がるのかそれとも関係ないのか。 調査方法 CBOEが 公表しているVIXの計算方法 を使って、他の条件を一定にしていくつかの金利水準におけるVIXの値を試算した。 オプションの価格にも金利が入ってくるのでブラックショールズモデルでオプションの計算も実施した。 2021年 11月11日の下記の指標を計算の前提にした。 S&P500：4646.71 配当利回り：4.25% Implied Volatility：18.73% VIXが満期まで30日のオプションを仮定して計算しているのでオプション価格の計算は残存日数30日として計算した。 調査結果 シミュレーション結果は下グラフのとおり 金利を0%から10%の範囲で動かしてもVIXの動きはほぼない。 考察 金利の上昇それ自体で VIXはほとんど動かない。 金利の上昇が投資家の予想するボラティリティ（Implied Volatility）を動かす、あるいは金利上昇の原因がIVを動かすのであればVIXも動く。 

 問題意識 ボラティリティのある資産に投資するとレバレッジを上げてもそれに見合ったリターンが得られない 例えばレバレッジファンドとか 期待リターンとボラティリティごとに最適なレバレッジとは？ 調査方法 Ed Thorpの論文 "THE KELLY CRITERION IN BLACKJACK SPORTS BETTING, AND THE STOCK MARKET" を参照した。 それによると無リスク金利がゼロの場合 長期投資を行った場合の長期資産成長率 （g） = f * m - (s^2 * f ^2)/2 ここで mは期待リターン sはボラティリティ fはレバレッジ gを最大化するレバレッジ （f*） = m/(s^2) ということなのでこの式に数値をあてはめてシミュレーションを行った。 調査結果 ボラティリティが存在する（s≠0）の場合は特定のレバレッジ（f*）で長期資産成長率（g）が最大になる f*の水準は期待リターン（m）とボラティリティ（s）の関係で決まる 例えばボラティリティ20%、期待リターン2%だと、長期資産成長率を最大化する最適なレバレッジは0.5倍になる レバレッジごとの長期資産成長率は以下の通り、ボラティリティ20%、4パターンの期待リターンを想定してシミュレーションした