notes by PDI

 問題意識 VIX指数はS&P500の オプションの値段を加重平均していろいろ やって算出しているという。 VIX指数が例えば30の時そのどのくらいがプットの寄与でどのくらいがコールの寄与なのか知りたい。 調査方法 CBOEのサイト から個々のS&P500オプションの値段を取得する。 CBOEの計算方法に基づきVIX指数を算出する。 その際に行使価格の幅と水準を使ってオプション価格を加重平均して使っているので、そのうちコールの部分合計、プットの部分合計、その他の部分に分けて合計1になるようにウェイト付けする。 VIX指数に同ウェイトをかけてコール部分、プット部分、その他部分の寄与を計算する。 調査結果 2021年12月3日午後16時15分頃のVIX水準は30.67（だいたいの時間なので当日のVIX終値とは微妙に差がある） そのうちコールによる部分は5.4ポイント（18%） プットによる部分は25.0ポイント（82%） その他の部分は0.2ポイント（1%） 感想 VIX指数全体のうちプット部分による寄与が非対称に大きい。 時系列で調べていないがVIXの変動はプットの価格の動きで決まるのではないか。

 疑問 1993年に計算が始まったときVIXはインプライドボラティリティ（IV）を加重平均して計算していたが2003年からオプション価格を参照して計算されるようになった という 。 計算方法が変わったがVIXはインプライドボラティリティと同じ動きをするのか？ 調査方法 前回の投稿 と同じように、2021年11月の株価、金利等のデータを使用。 いくつかのIVをブラックショールズモデルに投入してオプション価格を行使価格別に計算 得られたオプション価格群をCBOEのVIX計算式に入れてVIXを計算する IVの動きとVIXの動きを比較する 調査結果 以下のチャートのとおり VIXはインプライドボラティリティと同じ数字をとる 計算方法が変わっても同じ結果が出る

 問題意識 VIX指数は「 将来の相場に対する投資家心理を反映する 」と言われる。 金利が上昇するとVIXは上るのか下がるのかそれとも関係ないのか。 調査方法 CBOEが 公表しているVIXの計算方法 を使って、他の条件を一定にしていくつかの金利水準におけるVIXの値を試算した。 オプションの価格にも金利が入ってくるのでブラックショールズモデルでオプションの計算も実施した。 2021年 11月11日の下記の指標を計算の前提にした。 S&P500：4646.71 配当利回り：4.25% Implied Volatility：18.73% VIXが満期まで30日のオプションを仮定して計算しているのでオプション価格の計算は残存日数30日として計算した。 調査結果 シミュレーション結果は下グラフのとおり 金利を0%から10%の範囲で動かしてもVIXの動きはほぼない。 考察 金利の上昇それ自体で VIXはほとんど動かない。 金利の上昇が投資家の予想するボラティリティ（Implied Volatility）を動かす、あるいは金利上昇の原因がIVを動かすのであればVIXも動く。 

 問題意識 株に投資しているとする まったく同じ銘柄に投資しているものとして： 1．毎年年末に利益を確定して納税するのと 2．何年も放っておいて最後に売って一度だけ納税する どちらが得か？ 調査方法 毎年10%値上がりする株に10年間投資したと仮定してシミュレーションを行った 一方は毎年利益確定して税金を払い、他方は10年後に値上がりした分について1度だけ税金を払う 税率は20% 調査結果 シミュレーションの結果毎年税金を払うパターンでは資産は当初の2.16倍になった 10年後に初めて利益を確定して税金を払うパターンでは資産は当初の2.27倍になった 以下参考グラフ 感想 資産増加率を幾何平均で年率に直すと毎年納税は8％、最後に納税は8.57%と少なからぬ差がついた 値上がり率10%マイナス税金20%で、成長率は8%となるかと思ったが最後に納税ではこれを上回った。 ちなみに30年でシミュレーションを行うと、最後に納税パターンの年率資産増加率はより大きくなる。 税金で持っていかれる利益の20%部分に発生する複利効果の影響は大きい。 配当は強制的に税金がとられるので複利効果を得られずよくない（上がる株の場合）。 以上

 日本とアメリカでは「オッズ」の定義が違うようなので調べた。 日米の競馬運営組織による説明 JRAによると オッズとは =>勝馬投票券が的中した場合の概算払戻率のこと。中央競馬ではトータリゼータシステムのコンピューターに直結して、100円に対する倍率で掲示されている。5.0倍の馬券を100円購入し的中すると払戻金は500円となる。 Kentucky Derbyの運営組織によると Oddsとは =>各出走馬にどれだけのお金がかけられたかによって決まる。オッズが8-1の場合、掛け金の8倍のリターンに加え、賭けた金額が帰ってくる。例えば8-1のオッズの馬に25ドル賭けて勝った場合、25×8=200ドルに加えて元の掛金25ドルの合計225ドルが払い戻される。 Wikipediaによる 「統計学におけるOdds」の説明 ある事象が発生する確率と発生しない確率の比率 例えば、無作為に選んだ日付が週末である「Odds」は2:5 補足 Kentucky Debryの「Odds」（以下「Odds(KY)」という）は、競馬場の取り分がなければ、ある馬の勝率÷他の馬の勝率の逆数、つまりWikipediaの「統計学におけるOdds」の逆数になる Odds(KY)が1-1のときEven oddsというが、これはJRAによるオッズ（以下「オッズ（日本）」という）では2倍 Odds(KY)の表記形式はFractional OddsまたはBritish/UK Oddsと呼ばれる。 オッズ（日本）の表記形式はDecimal Odds, European Odds, あるいはContinental Oddsとも呼ばれる。 論文などで使われるOddsはWikipediaの「統計学におけるOdds」のようだが個別に注意が必要。

 問題意識 ボラティリティのある資産に投資するとレバレッジを上げてもそれに見合ったリターンが得られない 例えばレバレッジファンドとか 期待リターンとボラティリティごとに最適なレバレッジとは？ 調査方法 Ed Thorpの論文 "THE KELLY CRITERION IN BLACKJACK SPORTS BETTING, AND THE STOCK MARKET" を参照した。 それによると無リスク金利がゼロの場合 長期投資を行った場合の長期資産成長率 （g） = f * m - (s^2 * f ^2)/2 ここで mは期待リターン sはボラティリティ fはレバレッジ gを最大化するレバレッジ （f*） = m/(s^2) ということなのでこの式に数値をあてはめてシミュレーションを行った。 調査結果 ボラティリティが存在する（s≠0）の場合は特定のレバレッジ（f*）で長期資産成長率（g）が最大になる f*の水準は期待リターン（m）とボラティリティ（s）の関係で決まる 例えばボラティリティ20%、期待リターン2%だと、長期資産成長率を最大化する最適なレバレッジは0.5倍になる レバレッジごとの長期資産成長率は以下の通り、ボラティリティ20%、4パターンの期待リターンを想定してシミュレーションした

 疑問 手元資金効率化のため2倍のレバレッジをかけた金融商品を資産の50%組入れれば投資成果はレバレッジ1倍と同じになるか？ S&P500のインデックスファンドに100%投資する場合と、S&P500の2倍の運用成績を目指すレバレッジファンドに50%投資する場合とでパフォーマンスに差は出るか？ 調査方法 S&P500の2020年の日次パフォーマンスに基づいて手持ち資産を： S&P500に100%配分した場合と レバレッジ2倍のファンドに50%配分した場合に分けてシミュレーションを実施 ファンドに50%配分した場合については下記2パターンを検討した パターン1：期首に資産の50%をレバレッジ2倍のファンドに投資したものとしてパフォーマンスを算出する パターン2：期首に資産の50%をレバレッジ2倍のファンドに投資、その後も資産の変動に合わせて日々キャッシュ50%、ファンド50%になるようリバランスしてパフォーマンスを算出する 結果 パターン1（リバランス無しのケース）では、S&P500のパフォーマンスに劣後する結果となった。 パターン2（日々アセットアロケーションをファンド50％、キャッシュ50%となるようリバランス）では、パフォーマンスはS&P500に一致した。 投資戦略への示唆 資金効率化のためにレバレッジファンドを活用しても、原資産（S&P500）のパフォーマンスを正確に反映するには日々リバランスが必要。 レバレッジ2倍ファンドの純資産がレバレッジ1倍ファンドより大きい時、変動幅はレバレッジ1倍ファンドの2倍以上になり、逆の場合は変動幅が2倍以下になる =>パフォーマンスは期待通り50%×2倍=100%とはならない 設計上レバレッジファンドは変動率=2倍だが日々先物ポジションを純資産の残高に応じて組みなおすためリスクイクスポージャーが常に2倍になるとは限らず「変動幅」は2倍にならない 現実の運用ではレバレッジファンドでより多く発生する経費、リバランス時の売買手数料も問題になる。 結論 レバレッジファンドを使った運用効率化はかなり大変